Tổng hợp lý thuyết toán 11 về quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
Chuyên đề tổ hợp xác suất là một kiến thức quan trọng của toán học 11. Không chỉ dừng lại trong chương trình giảng dạy tại trường lớp, tổ hợp xác suất còn được ứng dụng rất nhiều trong đời sống giúp tính toán khả năng xuất hiện của các biến tùy chọn. Ví dụ như bạn có thể tính toán chính xác tỷ lệ xuất hiện của một dãy số ngẫu nhiên, điều này được áp dụng nhiều trong dự đoán xsmn thu 4 hang tuan.
Quy tắc đếm
Quy tắc cộng: Giả sử một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện phương án A và m cách thực hiện phương án B. Khi đó công việc có thể thực hiện bởi năm cách.
Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể làm theo n cách. Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó công việc có thể thực hiện theo năm cách.
Hoán vị
a) Định nghĩa:
– Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử.
– Lưu ý: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
b) Số các hoán vị:
– Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử.
– Định lý:
Pn = n(n – 1)…2.1 = n!
Chỉnh hợp
a) Định nghĩa:
– Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
b) Số các chỉnh hợp:
– Kí hiệu: Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n).
– Định lý:
– Lưu ý: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì vậy, ta có: Pn = Ann
Tổ hợp
a) Định nghĩa:
– Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).
– Quy ước: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.
b) Số các tổ hợp:
– Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n).
– Định lý:
c) Tính chất của các số Cnk
– Tính chất 1:
Cnk = Cnn – k (0 ≤ k ≤ n)
– Tính chất 2:
Ứng dụng của hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp
Tổ hợp và chỉnh hợp có rất nhiều ứng dụng hữu ích trong cuộc sống.
Ví dụ 1: Xác định xác suất trúng giải độc đắc xs can tho.
Cách làm:
Giải đặc biệt xổ số miền nam có 6 chữ số từ 0 đến 9. Các số này hoàn toàn có thể trùng nhau nên mỗi số sẽ có 10 cách chọn. Ta sẽ tìm được không gian mẫu của phép tinh 10*10*10*10*10*10 = 1.000.000 cách chọn. Suy ra xác suất để trúng giải độc đắc miền nam nếu chỉ mua 1 vé là 1/1triệu cơ hội.
Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số. Trong đó chữ số trong đó mỗi chữ số 1, 2, 3 xuất hiện đúng 1 lần. Chữ số 4 xuất hiện đúng 2 lần. Chữ số 5 xuất hiện đúng 3 lần.
Lời giải:
Dễ thấy mỗi số thoải mãi một hoán vị lặp. Vậy số các số thỏa mãn là 8!/(1!1!1!2!3!) = 3360 (số)
Trên đây là hai ví dụ đếm điển hình liên quan tới hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp, chúc các bạn học giỏi và thành công!
